「take a bath」の「a」が付く理由は、英語の慣用表現として「bath」がこの場合、特定の行為や経験を指す名詞として使われているからです。「bath」は単に「風呂」や「浴槽」を意味するだけでなく、「入浴」という一回の行為を表すときにも使われます。このとき、「take a bath」は「一回の入浴をする」という意味で、英語ではこのような行為を数えられる名詞として扱う場合に不定冠詞「a」を付けるのが一般的です。
例えば、以下のような表現も似ています：
tke a walk（散歩する）
take a nap（昼寝する）
take a break（休憩する）
これらはすべて、特定の行動や経験を「一回分」として捉え、名詞の前に「a」を付けて表現します。「take a bath」も同じパターンで、「一回の入浴」を自然に表現するために「a」が必要です。
一方で、「take a bath」の代わりに「have a bath」や「bathe」を使う場合もありますが、「take a bath」が特にアメリカ英語で広く使われる標準的な表現です。文法的に「a」がないと不自然に感じられるのは、英語のネイティブスピーカーがこのフレーズを一つの決まった表現として認識しているためです。