dutyとobligationはどちらも「義務」や「責任」を意味しますが、ニュアンスや文脈で使い分けられることがあります。
duty (義務、職務) は、道徳的、倫理的、または社会的な責任を強調します。
個人の信念、役割、または職業に基づく「果たすべき務め」という感覚が強く、自発的・内面的な責任感や名誉に関連する場合が多いです。
例:
It is my duty to protect my family.（家族を守るのは私の務めだ。）
As a doctor, it is my duty to save lives.（医者として、命を救うのが私の務めだ。）
She considers it her duty to care for her aging parents.
（彼女は老いた両親を世話するのが自分の務めだと考えている。）
obligation (義務、強制)は、法的な契約、規則、または外部からの期待に基づく「強制的な責任」を強調します。選択の余地が少なく、特定の行為を強いられる場合に使われることが多く、強制力や約束に基づく責任感を表します。
例:
I have an obligation to repay the loan.（ローンを返す義務がある。）
I have an obligation to attend the meeting.（会議に出席する義務がある。）
I feel an obligation to attend my friend’s wedding, even though I’m busy.
（忙しいけど、友達の結婚式に出席する義務を感じる。）
では、duty とobligation を同じ文脈で比較してみましょう。
It is my duty to serve my country as a soldier.
（兵士として国に奉仕するのは私の務めだ。）→ 誇りや使命感を伴う自発的な責任。
I have an obligation to serve my country because I signed a military contract.
（軍の契約を結んだので、国に奉仕する義務がある。）→ 契約による強制的な責任。
以前、obeyとcomplyの違いについてやったことがありましたが、なんとなく似ていますね。